Ekuazio sistema linealen azkeneko azterketa interaktiboa beheko loturan duzue (klikatu irudiaren gainean):
.JPG)
Ekuazio sistema linealen azkeneko azterketa interaktiboa beheko loturan duzue (klikatu irudiaren gainean):
↧
Ekuazio Sistemak 3 (DBH 3)
Ekuazio sistema linealen azkeneko azterketa interaktiboa beheko loturan duzue (klikatu irudiaren gainean):
↧
Kutxak, bolak eta Simpson-en paradoja
Irudian hiru egoera agertzen zaizkigu, eta egoera bakoitzean gure helburua bola gorria ateratzeko probabilitatea optimizatzea da. Nola jokatu behar dugu bola gorria ateratzeko probabilitate ahalik eta handiena izateko? Kutxa urdina aukeratu behar dugu hiru kasuotan?
Azter dezagun banan-banan:
1.EGOERA
Lehenengo egoeran A kutxan (urdina) 7 bola ditugu eta horietatik 3 gorriak dira; beraz, bola gorri bat ateratzeko probabilitatea 3/7=15/35. Bestetik, B kutxan (berdea) 5 boletatik 2 gorriak direnez, gorria ateratzeko probabilitatea 2/5=14/35 izango da. Beraz, kutxa urdina komeni zaigu aukeratzea, gorria ateratzeko probabilitatea handiagoa baita.
2.EGOERA:
3.EGOERA:
Hirugarren egoeran, kutxak nahastu ditugu: A + A' (13 bola denera = 7 gorri + 6 zuri) eta B
Geogebrako applet honetan, kutxa bakoitzaren osaera aukeratu ondoren, grafikoki azter ditzakegu probabilitateak eta zein kasuetan ematen den Simpsonen paradoja zehaztu. X ardatzean bola kopurua guztira eta Y ardatzean gorrien kopurua adierazita daudenez, zuzen bakoitzaren maldak kutxa bakoitzetik (A, A', B eta B') eta kutxen elkarketatik (A+A' eta B+B') bola gorria ateratzeko probabilitatea ematen digu. Zuzenkiak planoko bektoreak balira moduan ere har ditzakegu, non malda=Vy/Vx= P(gorria) den.
Klikatu irudiaren gainean:
Gertaera paradogiko hau Colin R. Blyth-ek aurkitu zuen 1951. urtean E. H. Simpsonen artikulu bat irakurtzean, eta "Simpsonen paradoja" moduan izendatu zuen.
Paradoja honen beste adibide batzuk:
↧
↧
Laukizuzenak konparatzen
.png)
Neurriak hartzeko erregelarik erabili gabe, nola egiazta dezakegu irudiko laukizuzenen azalerak berdinak edo bata bestea baino handiagoa den?
Laukizuzenak nahi duzun moduan manipulatu: ikutu, mugitu, biratu,...Neurririk ez duen erregela eta arkatza erabili dezakezu, baina ezin duzu neurtu, ezta erregela markatu ere.
Laguntza moduan, hona hemen Mikel Retegik geogebran egindako appleta (mugitu P puntu gorria):
http://www.geogebratube.org/material/show/id/122611
Geogebraren laguntzaz erraz ikus dezakegu problema honen soluzioa. Bisualizazioak argitu egiten digu bidea eta problemaren azalpenaren ateak zabaltzen dizkigu.
Saia zaitez orain azalpena edo egiaztapen geometrikoa ematen, ondoren datorrena irakurri baino lehen.
AZALPENA
Bi laukizuzenak erpin batetik lotzen ditugu:
Ondoren, biak bere barnean hartzen dituen beste laukizuzen bat marrazten dugu eta baita honen diagonala ere, irudian ikusten den moduan. Demagun P erpin komuna diagonalaren gainean dagoela,
Diagonalaz bi aldeetako poligonoen azalerak konparatuz,
Azalera1 = Azalera1'
Azalera2= Azalera2'
Azalera123 = Azalera1'2'3'
Azalera123 = Azalera1'2'3'
(Triangeluak kongruenteak dira: 1~1' ; 2~2' ; 123~1'2'3')
Ondorioz,
Azalera 3 = Azalera 3'
Beraz, P erpin komuna diagonalaren gainean dagoenean bi laukizuzenen azalerak berdinak dira.
Zer gertatuko da P erpina diagonalaren gainetik dagoenean?
P puntua diagonalaren gainean proiektatzen badugu, laukizuzen berdearen azalera handitu eta urdinarena txikitu egiten da, bi azalerak berdintzen diren arte (aurreko kasua),
Ondorioz,
P erpina diagonalaren gainetik gelditzen denean, goiko laukizuzenaren azalera txikiagoa. Era berean, P puntua azpitik; orduan, beheko laukizuzenaren azalera txikiagoa.
Oharra:Tito Eliatron Dixit blogean irakurri dut problema hau, baina, Jose Antoniok aipatzen duen moduan, Adrian Paenzaren "Matemagia" liburua da problema honen iturburua (Adrian Paenzaren liburuak PDFan).
↧
Problema Geometrikoen Ebazpena (Azalerak)
Azaleren kalkuluan formulen aplikazio hutsa ez da beti biderik errezena eta laburrena izaten, ezta egokiena ere zenbait kasutan. Problema zatitzea eta zatiak konparatzea moduko teknikak eguneroko bizitza arruntean erabiltzen ditugu, eta oso estrategia lagungarriak dira hainbat objekturen azalera kalkulatu behar dugunean.
Ondoren datozen jardueretan horixe egin beharko duzu, problema zatitu, zatiak konparatu eta berriz konposatu, eskatzen diren azalerak modu erraz batean kalkula ahal izateko.
Sakatu loturan edo irudiaren gainean:
.
Goian proposaturiko problemak olinpiada matematikoetan azaldutakoak dira:
↧
Thalesen Teoremaren egiaztapen bat
Thales Miletokoa Antzinako Greziako filosofo eta matematikari ospetsua dugu, Greziako zazpi jakintsuetako bat da, baina, paradogikoki, ezer gutxi dakigu bere bizitzari eta lanei buruz. K. A. 585. urteko eklipsea gertatu zenean Thalesek 40 bat urte zituela pentsatzen da; data hau erreferentzia moduan hartuta bere jaiotze- eta heriotza-datak kalkulatu dira.
Egiaztapenetan oinarritutako matematikari edo matematika deduktiboari hasiera eman zion lehena izan zen Thales. Bere ustez, baieztapen geometrikoak ezin ziren intuizio hutsez onartu , prozesu zehatz eta logiko baten ondorioz baizik. Thalesen egiaztapenak gure eskuetara iritsi ez badira ere, esandakoaren lekuko ondorengo teoremak ditugu (Thalesen teoremak):
- Zirkunferentzierdi batean inskribaturiko angelua zuzena da.
- Diametroak bi zati bertinetan banatzen du zirkulua.
- Triangelu isoszele baten oinarriko angeluak berdinak dira (oinarria desberdina den aldea izanik).
- Erpinez aurkako angeluak berdinak dira.
- Triangelu batean alde batekiko paraleloa den edozein zuzen marrazten bada, antzekoak diren bi triangelu lortzen dira.
Teorema hauek ikasleen artean nahiko ezagunak badira ere, ez da horren ezaguna egilea edo egiletzat Thales hartzen dugula.
Azkeneko teoremaren aldaera bat edo ondorio bat da, gaur hemen enuntziatu eta egiaztatuko duguna.
Thalesen Teorema
"Planoko edozein bi zuzen (r eta s) beren artean paraleloak diren zuzenen bidez ebakitzerakoan, r eta s zuzenetan agertzen diren segmentu korrespondenteen luzerak proportzionalak dira".
Hau da:
Egiaztapena
Thalesen Teoremaren egiaztapena azaleraren kontzeptuan oinarrituko dugu; beraz, kontzeptu hau axiomatikoki definitutzat emango dugu.
Egiaztapenarekin hasi baino lehen beharrezkoak izango diren ondorengo bi emaitzak gogoratu behar ditugu,
1.- Oinarri eta altuera bereko triangeluek azalera berbera dute:
2.- Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du. Triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak dira:
ADB triangeluaren azalera = S'' = b2·h/2
DCB triangeluaren azalera = S' = b1·h/2
Bi adierazpenetan h/2 isolatuz eta berdinduz,
S'' / b2 = S' / b1
Beraz,S'' / S' = b2 / b1
(Mikel Retegiren laguntzarekin egindako appletak. Mila esker)
↧
↧
Matemagiaz Blai (I)
Gaurkoan matemagiaz jantziko dut bloga. Ikasturte honetan DBH 3ko Matematika Tailerrerako eta Matemagiaz Blai izenburupean prestatu eta erabili ditudan hainbat truku aurkeztu eta azalduko ditut datozen lerroetan. Nahiko ezagunak dira eta erraz topa daitezke Interneten erderazko bertsioan; zailago, ordez, euskaraz aurkitzea. Aurrerago, beste sarreraren bat gai honi ere eskainiko diot. Orduan, apunteak eskuragarri utziko ditut interesa duen edozeinek erabiltzeko edota moldatzeko.
Magiari lotuta matematika ugari aurki dezakegu; matematika arina, atsegina, erakargarria eta motibagarria. Hala ere, ez da erraza ikasle guztiak "sorgintzea" matemagiaz; matematika hitza usaintzen duten bezain pronto, nolabaiteko etsipen puntua antzematen baita zenbait ikasleengan. Gero, ohiko matematikako klase baten aurrean ez daudela ikusten dutenean, erlaxatu (larregi ere batzuk) egiten dira eta klasean giro ona sortzen da.
Matematika egiten disfruta daitekeela ardatz hartuta, truku bakoitzean matematika agerian uztea da helburu nagusia; horrela, aurkeztu eta antzeztu ondoren, azalpen matematikoaren bila abiatzen gara. Truku askoren azalpena edo oinarri matematikoa nahiko erraza da, eta pista batzuk emanda ikasleak gai izaten dira gutxi gorabehera trukuaren nondik norakoak bakarrik aurkitzeko.
Magiari lotuta matematika ugari aurki dezakegu; matematika arina, atsegina, erakargarria eta motibagarria. Hala ere, ez da erraza ikasle guztiak "sorgintzea" matemagiaz; matematika hitza usaintzen duten bezain pronto, nolabaiteko etsipen puntua antzematen baita zenbait ikasleengan. Gero, ohiko matematikako klase baten aurrean ez daudela ikusten dutenean, erlaxatu (larregi ere batzuk) egiten dira eta klasean giro ona sortzen da.
Matematika egiten disfruta daitekeela ardatz hartuta, truku bakoitzean matematika agerian uztea da helburu nagusia; horrela, aurkeztu eta antzeztu ondoren, azalpen matematikoaren bila abiatzen gara. Truku askoren azalpena edo oinarri matematikoa nahiko erraza da, eta pista batzuk emanda ikasleak gai izaten dira gutxi gorabehera trukuaren nondik norakoak bakarrik aurkitzeko.
Kartel Magikoa
- Zenbakizko taula bat erakutsiko dizut.
- Taulari bizkarra emanda nagoela, aukeratu 2x2ko karratu bat eta ezkutatu lau zenbakiak karratu gorriarekin.
- Aurrera begira jarriko naiz eta berehalakoan ezkutatu dituzun lau zenbakien batura esango dizut.
- Ez al da harrigarria?
Nola? Buruz ikasita taulako zenbakiak? Dohain berezi baten jabe izango ote naiz? Aparteko aztia, agian?
Matematikaz baliatuz, egiaztatu sasiazti ziztrin bat besterik ez naizela.
Azalpena:
Memoria Itzela
- Begiratu ondoko zenbakizko taula.
- Koadroari bizkarra emanda jarriko naiz.
- Ikasle bat irtengo da eta nahi duen zenbakia tapatuko du.
- Ondoren, koadroari begira berehala asmatuko dut zenbakia
- Hau ere harrigarria, ezta?
Azalpena:
Oraingo honetan kode ezkutua apur bat zailagoa da:
- Lehenengo zutabeari 20 dagokio, bigarrenari 30, hirugarrenari 40 eta horrela jarraian.
- Errenkada bakoitzari errenkada zenbakia dagokio: lehenengoari 1, bigarrenari 2,...
- Adibidez, laugarren errenkada eta bostgarren zutabeko zenbakiaren kodea: 4 + 60 = 64
Kodea daukagunean, eragiketa hauek egin behar dira buruz zenbakia lortzeko:
- 64ren zifrak batu: 6+4=10
- 64 bikoiztu: 2·64=128
- 64ren zifren arteko kenketa: 6-4=2
- 64ren zifrak biderkatu: 6·4=24
- Ondorioz, zenbakia: 10128224
Zutabeen Magia
- Begiratu beheko zenbakizko bi koadroak.
- A koadroko zenbaki bat aukeratu.
- Aukeratu duzun zenbakia zein zutabetan dagoen esan behar didazu.
- Jarraian, begiratu B koadroko zenbatgarren zutabean dagoen zenbakia.
- Esaten badidazu B-ko zutabea, zein zenbaki aukeratu duzun esango dizut.
Azalpena:
Oso truku erraza, ezta? Hauxe da ezkutuko kodea:
A-ko lehenengo zutabeko elementu guztiak B-ko azkeneko errenkadan kokatu ditugu edozein ordenetan (ordenak ez du garrantzirik). Era berean, bigarren zutabekoak azken aurreko errenkadan eta horrela beste guztiak.
Adibidez, demagun 49 zenbakia aukeratu duzula. A-n 4.zutabean dagoela esaten didazunean B-n azpitik hasita 4. errenkada izango dut kontuan. Ondoren, B-ko 2. zutabekoa dela esatean, zein zenbaki den jakingo dut.
Memoria Miragarria
- Arbelean ondoko zenbakizko koadroa erakutsiko dizuet.
- Koadroari bizkarra emanda jarriko naiz.
- Ikasle bat irtengo da eta zenbaki bat tapatuko du.
- Ondoren, koadroari begira jarrita berehala asmatuko dut zenbakia.
Ea oraingoan kodea asmatzen duzuen (Pistak: 5 eta diagonalak)
Orain zeuen txanda. Bete ezazue zenbakiz koadro hau zuek asmaturiko kode sekretua erabiliz:
Azalpena:
Aukeratutako zenbakiaren laukitik hasita beste lau lauki diagonalean kontatu ondoren, beste zenbaki bat izango dugu. Diagonalean gora mugitzen bagara, azkeneko zenbaki hau hasierako +5 eta diagonalean behera -5 izango da.
Adibidez, demagun bostgarren errenkadako 16 aukeratu dugula:
Loturen zerrenda
Bukatzeko, Matematika edo Matematika Tailerrerako erabilgarriak izan daitezkeen Interneteko lotura batzuk uzten ditut. Material ugari eta oso ona dago:
- Matemagia enredadora
- Matemagia
- Magia y Matemáticas
- Automagia (P. Alegía/J.C. Ruiz de Arkaute)
- Matemágicas (interactivo)
- Magia por principios (Pedro Alegía)
- El rincón matemágico
- El País Matemáticas Mágicas
- Una matemática motivadora
- Códigos secretos y Teoría de la información en la magia (P. Alegría)
- La magia de los cuadrados mágicos (P. Alegría)
- Magia y agujeros negros(P. Alegría)
- La magia desvelada (P. Alegría)
- Juegos Matemáticos de Martin Gardner (Fernando Blasco)
- Entiendo el desorden (Carlos Vinuesa del Río)
↧
Triangelu gainjarrien problema
Bi triangelu ekilatero berdin, A1B1C1 (gorria) eta A2B2C2 (berdea), gainjartzen dira aldeak paraleloak izanik. Bien artean MNOPQR hexagonoa sortzen da (irudian urdinez):
Triangelu aldekideen aldea 6 cm-koa bada, zein izango da hexagonoaren perimetroa? Ba al dago erlazioren bat hirukien perimetroaren eta hexagonarenaren artean?
Erabili Geogebrako appleta probak egiteko eta egoera bisualizatu ahal izateko. A eta B puntuak mugituz aldatu hirukien posizioak eta irristailuaz aldeen luzera.
Ondoren, saia zaitez azalpen bat ematen.
http://ggbtu.be/m718889
Azalpentxo bat
Irudian ikus daitekenez, hiruki aldekide berdea gorriaren gainean jartzerakoan barnealdeko azalera komunak hexagono bat eratzen du.
Kanpokaldean sei triangelu aldekide agertzen zaizkigu eta aurkakoak kongruenteak dira:
MN = MC1 eta RQ = RB1
MN+MR+RQ = C1B1 = "b" aldea
PHexagonoa = 2·b = 2·P/3 =12 cm
Oharra:
Gaurko problema hau Olinpiada Matematikoa prestatzeko matematikako irakasleen SCMPM elkarteak argitaratu du bere blogean: http://scmpm.blogspot.com.es/
↧
Zati berdinetan banatzen (I)
Irudian duzun laukia karratua da. Bertan 12 fitxa gorri ageri dira:
Ondoko hau proposatzen dizuet:
Banatu karratua lau zati berdinetan baldintza txiki bat egiaztatuz; zati bakoitzean 3 fitxa gorri (oso osorik) agertu behar dira.
↧
Ixabelen urtebetetze eguna
Anttonek eta Martinek oraintxe ezagutu dute Ixabel eta bere urtebetetze eguna noiz den jakin nahi dute.
Isabelek hamar aukera eman dizkie:
Maiatzaren 15a, 16a edo 19a.
Ekainaren 17a edo 18a.
Uztailaren 14a edo 16a.
Abuztuaren 14a, 15a edo 17a.
Ixabelek Anttoni urtebetetze hilabetea esan dio eta Martini eguna.
• Antton: Ez dakit noiz den Isabelen urtebetetzea, Martinek ere ez dakiela badakit.
• Martin: Hasieran ez nekien noiz zen Isabelen urtebetetzea, baina orain badakit.
• Antton: Orduan orain nik ere badakit.
Noiz da Ixabelen urtebetetze eguna?
Oharra: Gaurkoa Asia eta Singapurren ospatu diren azkeneko olinpiadetan jarritako eta egun hauetan sare sozialetan oso ezaguna egin den problemaren euskal bertsioa da.
↧
↧
Triangeluen azalerak konparatzen
Irudiko barneko triangeluaren aldeak bikoiztuz, kanpoko triangelua eraiki da:
AA1, BB1 eta CC1 zuzenkiak AB, BC eta CA segmentuen bikoitzak dira hurrenez hurren eta ABC triangeluaren azalera 1.
Zein da A1B1C1 triangeluaren azalera?
Ba al dago erlaziorik irudiko triangeluen azaleren artean?
Zein? Zergatik?
Egoera hobeto ikusteko eta ulertzeko, hona hemen Geogebrako appleta:
AZALPENA
Edozein triangelutan ondoko propietate hau egiaztatzen da:
"Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmetuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du. Triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak dira"
Triangeluaren oina eta aurkako erpina lotzen dituen segmentua erdibidekoa (mediana) denean, azalera bereko bi triangelu izango ditugu (oinaren luzera eta altuera berberak).
Propietate hau irudiko triangeluetan aplikatzen bada:
Azalera A1B1C1 = 7·S non S = azalera ABC
Ondorioz,
azalera ABC = S = 1 bada, orduan azalera A1B1C1 = 7
↧
Zenbat zirkulu?
Irakasleak zenbait zirkulu marraztu zituen orri batean.
Ondoren, mahi gainean jarri zuen orria eta ikasle bati erakutsiz, honela galdetu zion,
Irakasleak: "Zenbat zirkulu daude?"
Ikasleak: "Zazpi daude"
Irakasleak: "Oso ondo, erantzun zuzena"
Jarraian beste ikasle bati galdera bera egin zion,
Irakasleak: "Zenbat zirkulu daude?"Ikasleak: "Bost daude"
Irakasleak: "Hala da, zuzen erantzun duzu"
Nola? Hau buruhaustea!
Zenbat zirkulu marraztu zituen orrian irakasleak?
Zenbat zirkulu marraztu zituen orrian irakasleak?
↧
Laukizuzenaren Barneko Hirukiak
Problema
ABCD laukizuzenaren AD aldea 2 cm.
FG, HI, JK eta LD segmentuak denak berdinak, 1 cm.
Zein da grisez margotutako zatiaren azalera?
Mugitu E puntua
Laguntza
Geogebraren laguntzaz argiago ikus daiteke lau hirukien azaleraren eta laukizuzenaren elementu baten arteko erlazioa:
Mugitu E puntua
************
↧
Zirkuluen Kolore-Kodea
Problema
Zuriz eta beltzez margotutako sei zirkulu marraztu ditugu lerrokatuta horizontalean eta diagonalean irudian erakusten den moduan. Errenkada bateko zirkuluen kolorea aukeratzeko erabili dugun araua aurreko errenkadaren menpekoa da solik.
Saia zaitez kolore-kodea aurkitzen eta erantzun galderei:
- Nola margotu behar dira zazpigarren errenkadako zirkuluak?
- Egon al daiteke zirkulu guztiak beltzak dituen errenkadarik?
- Margotu 2015. errenkadako zirkuluak
************
Laguntza
Pistatxo bat nahi baduzu sakatun hemen
Soluzioa
Ondorengo aurkezpenean azalpen bat:
************
↧
↧
Laukizuzena zatitzen
AC eta BD marra etenak jarraituz 30 cm luze eta 20 cm zabal den laikizuzen formako orria lau zatitatan banatu dugu; era horretan neurri bereko bi triangelu eta bi pentagono lortu ditugu. AC eta BD segmentuak luzera berekoak dira eta laukizuzenaren zentroan ebakitzen dute elkar angelu zuzena eratuz.
- Zein da AB segmentuaren luzera?
- Zenbatekoa da triangeluen azalera? eta petagonoena?
- Bi triangelu eta bi pentagonoekin erdian hutsune bat duen karratua eraiki daiteke (ikusi (2) irudia). Zein da hutsunearen azalera?
 |
↧
"La Habitación de Fermat" eta problemen ebazpena
2007an estreinatu zen Luis Piedrahitak eta Rodrigo Sopeñak zuzenduriko "La Habitación de Fermat", intriga eta matematika era erakargarrian uztartzen dituen pelikula. Erreferentzia matematiko ugari eta logikazko hainbat problema edo enigma klasiko agertzen zaizkigu filmaren zehar.
![]()
Ozpe handiko lau matematikari, Galois, Hilbert, Oliva Sabuco eta Pascal ezizenekin, goi mailako matematikarien bilera batera gonbidatuak izan ondoren, gela batean giltzapetuta geratuko dira. PDA baten bitartez zenbait problema proposatuko zaizkie eta minutu bat izango dute erantzuna aurkitzeko; erantzun zuzena aurkitu bitartean, gela tamainaz txikiagotzen joango da. Gelatik bizirik irtetzea, protagonistek problemak ebazten erakusten duten trebetasunaren menpe egongo da.
Matematikaren aurpegi motibagarria agerian uzteko baliabide didaktiko paregabea da "La Habitación de Fermat"; ikasleen arreta gureganatzen eta problemen ebazpena erakargarriago bihurtzen laguntzen digu.
Ikasturte honetan Matematika Tailerrari hasiera emateko pelikula hau ikusi dugu eta bertan proposatzen diren problemen ebazpenari gogoz ekin diogu; interesa eta motibazioa piztu da ikasleen artean.
Jarraian, problemak edota enigmak doazkizue:
PROBLEMA 1 "Zenbaki segida"
Zein da hurrengo segida eratzeko erabilitako legea?
1 - 9 - 2 - 5 - 3 - 4 - 6 - 7 - 8
PROBLEMA 2 "Artzaina, aza, otsoa eta ardia"
Artzain batek ibaia zeharkatu behar du txalupa batean. Berarekin batera ardi, otso eta aza bat eraman behar ditu. Txalupa txikia da, artzaina eta beste bat baino ez dira sartzen bidaia bakoitzean (artzaina eta ardia, artzaina eta aza edo artzaina eta otsoa). Bestetik, otsoak ardia jango du artzainak bakarrik uzten baditu eta, era berean, ardiak aza artzaina aurrez aurre ez badago. Nola zeharka dezake ibaia ardiak aza jan ez dezan eta otsoak ardia?
PROBLEMA 3 "Hiru kaxak"
Gozoki dendako arduradunak hiru kaxa jaso ditu. Kaxa batek mentazko karameloak ditu, beste batek anisezkoak eta hirugarrenak nahasketa (mentazkoak eta anisezkoak nahastuta). Kaxa bakoitzak etiketa bat du: “Mentazko karameloak”, “Anisezko karameloak” eta“Nahastutako karameloak”. Dendariak mezu bat jaso du hiru kaxak gaizki daudela etiketatuta esanez.
Gutxienez zenbat karamelo atera behar du gozo-saltzaileak kaxa bakoitzaren edukia zein den jakiteko? Azaldu.
El problema de los caramelos from JMS on Vimeo.
PROBLEMA 4 "Etengailuak"
Itxita dagoen gela baten barruan bonbilla bat dago eta kanpoan hiru etengailu. Etengailu batek bakarrik pizten du bonbilla.
Atea itxita dagoen bitartean, nahi duzun etengailua eta nahi beste aldiz sakatu dezakezu, baina atea zabaltzen duzunean erabaki behar duzu etengailuak ukitu gabe bonbilla zeinek pizten duen.
PROBLEMA 5 "Ordularia"
9 minutu neurtu nahi ditugu.
Nola lor dezakegu 9 minutu neurtzea bi ordulariak erabiliz?
PROBLEMA 6 "Irakaslearen alabak"
Ikasle batek matematikako irakaslearen hiru alaben adina jakin nahi zuen. Behin, problemak ebazten zihardutela, Irakasleak honela esan zion ikasleari:
-Nire hiru alaben adinen biderkadura 36 da eta batura gure ikastetxe aurrean ikusten duzun etxearen zenbakia.- Datu bat falta zait- ikasleak erantzun zion.
- Egia da, zaharrenak pianoa jotzen du- irakasleak berriz.
Zeitzuk dira alaben adinak?
PROBLEMA 7 "Bi ateak"
Preso zauden gelatik irteteko bi ate daude. Bietatik bat askatasunaren atea da. Ate bakoitzean zaindari bana dago. Zaindari batek egia esaten du beti eta besteak gezurra; baina, ez dakizu gezurtia nor den. Galdera bakar bat egin diezaiokezu zaindari bati askatasunaren atea zein den jakiteko. Ze galdera?PROBLEMA 8 "Adin kontua"
Ama bat bere semea baino 21 urte zaharragoa da. 6 urte barru amaren adina bost aldiz semearenarena izango da. Zertan dihardu aitak?
PROBLEMA 9 "Kode sekretua"
Zein da kode honek ezkutatzen duen irudia?
Ondorengo txostenean problema guztiak bilduta doaz, filmeko protagonistek emandako azalpenen bideoen loturekin batera.
Problemen txostena
Sigma eta Suma aldizkarietako bi artikulu interesgarri:
**********
↧
Igogailuaren Problema
Gaurko problema Adrian Paenza matematikari eta kazetari argentinarrak proposatu zuen "Científicos Industria Argentina" telebistako programan. Buruari apurtxo bat eraginez eta diagrama edo irudi baten laguntzaz erraz bideratzen den horietakoa da.
Honela dio:
Demagun sei solairutako eraikin baten atarian gaudela igogailua hartzeko zain solairu guztiak ikusteko asmoarekin. Igogailua nahiko bitxia da, ez da banan-banan eta ordenean pisu guztietan gelditzen; goranzkoan zein beheranzkoan, 3ko edo 5ko igoerak eta jaitsierak egiten ditu. Adibidez, beheko solairutik 3. edo 5. pisura mugi daiteke; 3.tik beheko solairua; 5.tik 2.ra edo 0.ra; etabar. Igogailuak ematen dituen aukerak konbinatuz, bururatzen al zaizu estrategiaren bat beheko solairutik abiatuta pisu guztietan gelditzeko? Eta igoera-jaitsierak 2 edo 4koak balira?
Problemaren planteamendua Adrian Paenzaren eskutik beheko bideoan,
Problemaren planteamendua Adrian Paenzaren eskutik beheko bideoan,
SOLUZIOA:
Hemen duzue azalpentxo bat,
Adrian Panzaren azalpena bideo honetan,
*****
↧
Problemen ebazpena lankidetzan bolg batekin
Bihar asteazkena, hilak 23, "Problemen ebazpena lankidetzan blog batekin" tutorizatzen dudan ikastaroa hasiko da.
Ikastaroaren ardatza, problemak ebaztea izango da; sormena, irudikapena, pentsamendu dibergentea, intuizioa,... martxan jartzea eskatzen duten problemak.Bereizketa egingo dugu ariketak eta problemen artean.
Ariketak, ohi denez, testu liburuetan gai baten amaieran agertzen dira aurretik gaiaren garapenean ikasitako hainbat algoritmo praktikatzeko. Helburua prozedura eta mekanismo hutsak aplikatzean datza; beraz, argi eta garbi dago zer egin behar den ebazteko. Egoera itxiak aurkezten ohi dituzte eta ez diote sormenari lekurik egiten.
Problemen ezaugarriak, aldiz, oso bestelakoak dira. Benetako problema bat, erronka bat da, desafio bat; hasiera batean zer egin behar den badakigu, baina ez dakigu nola. Problema hauek egoera irekiak aurkezten ohi dituzte. Sormenak eta albo-pentsamentuak berebiziko garrantzia izaten dute. Hainbat estrategia erabiltzera bultzatu eta gure ezagupenetan eta esperientzietan sakontzera eramaten gaituzte; goi mailako konpetentziak garatzen dituzte.
Adibidez, zenbaki arrunt bat faktore lehenetan deskonposatzea ariketa bat da DBHko ikasle batentzat, ordea, nolakoak diren hiru eta bakarrik hiru zatitzaile dituzten zenbakiak aztertzea problema bat da.
George Polya eta Miguel de Guzmanen ideiak gidari, problemak ebazteko jarreraren garrantzia, faseak eta estrategiak aztergai izango dira adibideetan oinarrituta.
Problemak elkarri proposatu eta ebatzi egingo ditugu blogaren bidez lankidetzan. Sarean edota liburuetan problemak bilatu, euskaratu eta blogean publikatzea zereginik nagusia izango da.
Adibidez, zenbaki arrunt bat faktore lehenetan deskonposatzea ariketa bat da DBHko ikasle batentzat, ordea, nolakoak diren hiru eta bakarrik hiru zatitzaile dituzten zenbakiak aztertzea problema bat da.
George Polya eta Miguel de Guzmanen ideiak gidari, problemak ebazteko jarreraren garrantzia, faseak eta estrategiak aztergai izango dira adibideetan oinarrituta.
Problemak elkarri proposatu eta ebatzi egingo ditugu blogaren bidez lankidetzan. Sarean edota liburuetan problemak bilatu, euskaratu eta blogean publikatzea zereginik nagusia izango da.
Ongietorri guztioi
PROBLEMEN EBAZPENA LANKIDETZAN BLOG BATEKIN
"Matematikako problemak ebaztea baino atseginagoa da problemak proposatzea"
George Cantor
"Matematikaria izatearen arrazoi nagusia problemak proposatzea eta ebaztea da; problemen ebazpena Matematikaren bihotza baita"
P. R. Halamos
BIDEOAK
Jakina denez, teknologia berriek denbora bat, sarri nahiko luzea, behar izaten dute gure artean ezartzeko eta ohiko baliabide bihurtzeko. Hasiera batean urduritasuna eta mesfidantza sortarazten digute, gehienbat ohitura eta trebetasun faltagatik. Baina, irrifartsu eta umore onez aurrera egin behar da. Ikus dezagun egoera horren parodia moduko bat,"Pergaminotik liburura" bideoa:
Oraingoan sorginkeri matematikoak. Arthur Benjaminek Sorgintzen gaitu Fibonacciren zenbakiekin.
(Oharra: Azpitituluak ikusteko, bideoaren behekaldean arratoia jarri, sakatu engranaje itxura duen irudia eta aukeratu hizkuntza)Dan Meyerrek matematikaren irakaskuntzak irudi aldaketaren beharra duela dio.
*****
↧
↧
Barruan ala kanpoan?
A
Irudiko bidea itxia da. Bertan puntu bat ikusten da.
Puntua bide itxiaren barruan ala kanpoan dago?
B
Hurrengo kasuan erabilitako diseinuaren tamainagatik ezin izan dugu bide itxia oso osorik marraztu.
Non dago orain puntua, barruan ala kanpoan?
Eman dezakezu azalpen bat?
SOLUZIOA
******
↧
Pospoloak eta digituak
Pospoloak erabiliz gure Sistema Hamartarreko hamar digituak eraiki ditugu.
(ikusi irudia)
0-ak sei pospolo Behar ditu, 1-ak bi, 2-ak bost,...
27 idazteko denera 9 pospolo behar dira, 138 eratzeko 14, etabar.
↧
Dadoa eraikitzen
Ondorengo problema adin guztietarako da. Eskolan, etxean edota kalean ebaz daiteke. Ez da behar ezagupen matematikorik; jakin behar den gauza bakarra da dado arrunt batek egiaztatzen duen propietatea. Zen propietate? Hartu dado bat eta aztertu aurkako aldeak (kalkulatu aurkako aldeetan dauden puntuen batura), zenbatekoa da batura hau?
Problema
Janina denez, dado baten aurkako aurpegien puntuen batura zazpi da; proietate hau kontuan izanik, beheko zein eredurekin eraiki daiteke dado arrunta?
Problema hau manipulagarria da. Lehen hezkuntzako eta DBH-ko lehenengo zikloko ikasleek eraiki ditzatela bost dadoak kartulinaz. Ondoren, dado arrunt batekin konparatzea besterik ez.
*****
↧