Quantcast
Channel: Egin Matematika
Viewing all 143 articles
Browse latest View live
↧

Zenbakia deduzituz

September 20, 2015, 4:10 pm
$
0
0

Odoren proposatzen den problema benetan ederra da, daturen bat falta zaigularen sentsasioa uzten diguten horietakoa da. Baina ez, behar diren datu guztiak agertzen dira. Ez da ahaztu behar zenbait egoeratan, datu batzuk deduzitu behar direla aurretik lorturiko informaziotik.

Problema


Demagun bi lagunen aurrean nagoela, Martin eta Ixabel. Joko bat proposatuko diet: Martini ahopean zenbaki sekretu bat esango diot eta, ondoren, beste bat Ixabeli. Jarraian, bi zenbaki esango ditut ozenki: bata bi lagunei esandako zenbakien batura eta bestea ausaz aukeratutako bat (biak edozein ordenetan esanda).
Helburua: batak bestearen zenbaki sekretua asmatzea.

Nola?


Adibidez: demagun Martini 20 esan diodala belarrira eta Ixabeli beste zenbaki bat. 
Ozenki 23 eta 30 esango dut.
Hasiko gara Martinekin, honela galdetuz: zein da Ixabeleren zenbakia? Honek, ez dakiela erantzuten du, ezin duelako erabaki 3 eta 10ren artean. Orain, Ixabelen txanda da: zein da Martinen zenbakia? Baina Ixabelek ere ez dakiela dio. Ondoren, berriz ere Martini galdetzen diogu, eta  10 dela erantzuten du.

Nola?
Nola jakin du Martinek Ixabelen zenbaki sekretua 10 dela?
Azaldu.









*****

↧
Search

Pisaldi bakarra I

September 30, 2015, 4:40 pm
$
0
0


Bankuko zuzendariak txanponez betetako bost kutxa jaso ditu gaur goizean. Txanpon guztiak balio berekoak dira eta bakoitzak 10 gramoko pisua du.
Bat-batean dei bat jaso du zentraletik kutxa batek txanpon faltsuak dituela esanez. Kutxa faltsuko txanponak 11 gramoak dira.

Zuzendaria langilei problemak proposatzea izugarri gustatzen zaio eta oraingoan ere ez du aukerarik galdu. Kutxazainari gertatutakoa azaldu eta gero, honela esan dio:

"Pisaldi bakarrarekin esaten badidazu zein den kutxa faltsua aste beteko oporraldia izango duzu opari".

Lagundu esaiozu kutxazainari 11 gramoko txanponak dituen kutxa aurkitzen pisua behin bakarrik erabiliz.





SOLUZIOA

↧
↧

Bi koloreen problema

October 1, 2015, 5:00 pm
$
0
0


Marraztu orri batean nahi beste zuzen; argi dago,zuzen kopuru finitoa izango dugula. Adibidez,

Hainbat eskualdetan geratu da banatu orria. Mapa baten antzera eskualde bakoitza herrialde bat da. Bi kolore (gorria eta berdea) erabiliko ditugu mapa hau koloreztatzeko, baina baldintza bati jarraituz: muga zati bat (puntu bat ez da muga zatia) partekatzen duten herrialdeen kolorea desberdina izatea nahi da.

Gure adibidean, margotzeko era bat da ondorengoa,



Kasu honetan soluzio bat aurkitu dugu. Baina herrialde kopurua edozein izanda ere:


Posiblea al da margotzea jarritako baldintza errespetatuz? 

Nola?


Baiezko kasuan, bururatzen al zaizu estrategia edo prozedura bat, pausoz-pausoz jarraituta helburua lortzea ahalbideratuko duena?




AZALPENA

↧

Pisaldi bakarra II

October 7, 2015, 5:20 pm
$
0
0

Aurreko eguneko problema batean gure herriko bankuko zuzendaria ezagutu genuen (Pisaldi bakarra I). 

Orduko hartan larri zebilen jasotako bost kutxetatik batek txanpon faltsuak zituelako. 

Oraingo honetan ere estu eta larri dabil. Beste bost kutxa jaso ditu, baina oraingoan deitu diote esanez ez dakitela zenbat kutxa faltsu dauden ( 0, 1, 2, 3, 4 edo 5). 





Gogoratu, benetako txanponak 10 gramokoak eta kutxa faltsuetan dauden txanpon guztiak 11 gramokoak direla.

Berriz ere, kutxazainarengana hurbilduz honela esan dio:

"Pisaldi bakarrarekin esaten badidazu zeintzuk diren kutxa faltsuak, bi aste beteko oporraldia eta paga berezia izango duzu opari"

Lagundu iezaiozu kutxazainari txanpon faltsuak dituzten kutxak aurkitzen 


Oharra: pisaldi bakarrarekin zera esan nahi dugu, behin bakarrik erabili dezakegula pisua. Aurretik nahi dena egin daiteke, baina pisaldi bakar bat; pisu digitala da eta behin bakarrik irakurriko dugu pantailan agertzen den zenbakia. Bestetik, kutxak txanponez goraino beteta daude.




SOLUZIOA 




***** 
↧

Laukizuzenaren azalera

October 7, 2015, 5:21 pm
$
0
0


Irudiko laukizuzenaren AC diagonalaren gainean P eta Q puntuak aukeratu dira, halako moldez non AQ = QP = PC = 1 egiaztatzen den. AQD eta BPC triangeluak zuzenak dira.






Zein da ABCD laukizuzenaren azalera?




SOLUZIOA



*****
↧
↧

Beti irabazteko estrategia

October 12, 2015, 4:42 am
$
0
0

Ondoren estrategiazko problema bat doakizue; Adrian Paenzarena da, bere dibulgazio liburuetan proposatutakoa. Ez da matematikako ezagutza berezirik behar; apur bat pentsatu, besterik ez! Adin guztientzat.
           
  
 
Mahai angeluzuzen baten inguruan eserita dauden bi lagunek txandaka txanponak mahai gainean ipiniko dituzte, mahaiko taula bete arte. Jokuaren arauak hauxek dira:


  • Txanpon guztiak berdinak dira; demagun euro batekoak.
  • Txanda duen lagunak txanpon bat ipiniko du mahai gainean, baina jarrita dauden txanponak zapaldu edo gainjarri gabe;bai ordea ertzak ikutuz.
  • Hegaletan ipinitako txanponak ez dira zertan guztiz mahaiaren gainean egon behar, orekan badaude nahiko.
  • Bere txandan, txapona jartzeko lekurik ez duena galtzailea izango da.


 
Baldintza hauek kontuan izanik, zu izango bazina lehenengo txanpona ipintzen duena, bururatzen al zaizu estrategia bat beti irabazteko, aurkariak edozer estrategia erabilita ere?



↧

Galdutako zenbakiaren bila

October 12, 2015, 9:02 am
$
0
0

Oraingo honetan ere, Adrián Paenzak proposatutako problematxo batekin gatoz.



Ondoko zerrendan, zenbaki bat galdu zaigu. Jarri martxan zeure detektibe sena, galdutako zenbakia ager araziko digun erlazioa aurkitzeko.






Zein da galdera ikurraren lekuan doan zenbakia?
Zergatik?





*****
↧

Zenbakiekin jolasten

October 15, 2015, 4:24 pm
$
0
0

Hona hemen hiru problema, olinpiadak prestatzeko erabiltzen diren modukoak. Ea aurkitzen duzun estrategia egoki bat ebazteko:


 PROBLEMA 1

1tik 10ra zenbaki guztiak idatzi ondoren, (+) ikur positiboak eta (-) negatiboak idatzi ditugu zenbakien artean.
Ba al dago ikurren konbinazioren bat eragiketak egin ondoren bukaerako emaitza 0 izan dadin?






PROBLEMA 2

1, 2, 3, 4,..., 99, 100, 101 zenbaki arrunten zerrenda ordenatua idatzi dugu arbelean. "+" eta "-" ikurrak banatuko ditugu zenbakien artean. Ondoren eragiketak egingo ditugu.
Posiblea al da azkeneko emaitza 0 izatea? 




PROBLEMA3

17 zifrako zenbaki bat idatzi dugu; zifren ordena aldatu eta gero, bigarren zenbakia lortzen da. 
Bi zenbakiok batu badira, egiaztatu batuketaren emaitzak gutxienez digitu bikoiti bat izango duela.





↧
Search

Txanponak, bolak eta probabilitatea

October 15, 2015, 5:16 pm
$
0
0

Orain probabilitateko problemak. Ez dira batere intuitiboak:


 PROBLEMA 1

Hiru txanpon ditugu, bata bi aldeetatik zuriz margotuta, beste bat bietatik gorriz eta azkena alde batetik zuriz eta bestetik gorriz. Poltsa batean sartu eta begiratu barik zoriz bat aukeratzen dugu. Ondoren mahi gainean jartzen dugu bere aurpegietako bat bistan dagoela eta bestea ezkutuan. Demagun ikusten den aldea zuria dela. Apostua egin behar duzu ikusten ez den aldea zuria ala gorria dela. 

Zer da probableagoa ezkutuan dagoen aurpegia zuria ala gorria izatea? Zergatik?





PROBLEMA 2
 
Kutxa batean bola zuriak eta beltzak daude, denera lau bola. Eskua sartu eta bi bola atera ditugu, biak zuriak izateko probabilitatea 1/2 dela jakinda:

Zein da bi bola beltz ateratzeko probabilitatea?




PROBLEMA 3


5 bola zuri, 5 beltz eta bi kutxa daude. Bola guztiak bi kutxetan banatu eta gero (bietan dago bolaren bat), zoriz kutxa bat aukeratu da eta bertatik bola bat atera. Ateratako bola zuria izateko probabilitatea maximoa izan dadin:
Nola egin behar da bolen banaketa? 
Ba al dago banaketaren bat non aipatutako probabilitatea1/2 baino handiagoa den?









↧
↧

Paradoxa Geometrikoak

October 16, 2015, 5:41 pm
$
0
0


 PARADOXA 1

ABC triangeluan aldeen erdiko puntuak  M, N eta P kokatu eta gero, MP eta NP zuzenkiak marraztu ditugu. MPNC laukia paralelogramo bat da; beraz, zera egiaztatzen da:

AN + NP = AC + CB


Ondoren, APN eta PBM triangeluekin hasierako ABC triangelua zatitu dugun moduan zatituko dugu. Prozesu bera etengabe errepikatuko dugu. Etapa bakoitzean marraztutako segmentuen luzeren batura = AC + CB.
Sortzen diren segmentu berrien luzerak gero eta txikiagoak dira eta erpinak  AB aldera hurbilduz doaz. Limitean, segmentu hauen perimetroak AB aldearekin bat egitera jotzen du. Beraz:

AC + CB = AB??????

Posiblea al da? Zer gertatu da? Nola azaldu daiteke egoera paradoxiko hau?



 PARADOXA 2

Ondorengo triangelua karratu baten erdia da, hau da, triangeluaren hipotenusa karratuaren diagonala da.
Ikusi irudiak erakusten duen prozesua, eta erantzun galderei:




 Karratuaren diagonala aldearen bikoitza al da? Nola?




 PARADOXA3

Eta oraingo kasuan,


zirkunferentziaerdiaren luzerak diametroren luzera bera al du?


Ikusten al duzu erlaziorik hiru paradoxa hauen artean? Nola azaldu daitezke?


*****




↧

Paradoxak problemetan

October 17, 2015, 10:54 am
$
0
0



BARRAZKILOA

10 metroko sakonera duen putzu baten hondoan barrazkilo bat dago. Bertatik irtetzeko, egunez 2 metro gora egiten ditu eta gauez, lo dagoela, irristatu egiten da metro bat behera.

Zenbat egun beharko ditu putzutik irtetzeko?






BABARRUNAK

Babarrunez betetako bi saku erosi ditugu, gorria eta zuria. Saku gorrian 2000 babarrun gorri daude eta saku zurian 2000 babarrun zuri. Saku gorritik 100 babarrun gorri atera eta saku zurian sartu ditugu. Nahastu eta gero,  saku honetatik, zuritik,  100 babarrun atera eta saku gorrian sartu ditugu.
Zein da handiagoa, saku gorrian dagoen babarrun zurien kopua ala saku zurian dagoen gorrien kopurua?




GALDUTAKO EUROA

Hiru lagunek afaldu ondoren kontua eskatu zuten. Bakoitzak 10 € ipini zituen, denera 30€, 25€-ko afaria ordaintzeko. Jatetxeko zerbitzariak 5€ txanponetan itzuli zizkien. Banaketa egitea zail samarra zenez, honela konpodu zuten arazoa: lagun bakoitzak  euro bat hartu eta 2€-ko propina zerbitzariari eman zioten.
Honela, bakoitzak 9€ ordaindu zituen (3 bider 9 = 27€); 27€ gehi 2€-ko propina 29€ denera. Baina, 30€ ipini zituzten.

Non dago galdutako euroa?








*****
↧

Seudojokoak

October 21, 2015, 4:19 pm
$
0
0

Joko baten irabazlea, erabilitako estrategiaren menpe ez badago; hau da, irabazlea beti lehenengo jokalaria edo beti bigarrena bada, partidaren garapena edo nola jokatu den kontuan hartu barik erabakitzen bada, jokoari seudojokoa deritzogu.

Hona hemen adibide batzuk:


Txokolate tableta

Bi lagunek luzeraz 7 eta zabaleraz 4  onza dituen txokolate tableta bat zatitzen ari dira txandaka onzak bereizten dituzten marretatik apurtuz, azkeneko zatitxoa askatu arte. Bere txandan zatiketarik egin ezin duena galtzailea izango da.
Zeinek irabaziko du? Lehenengo jokalariak ala bigarrenak?

 





Harri piloak

Hiru harri pilo ditugu: batak 10 harri ditu, bigarrenak 15 eta hirugarrenak 20. Txandaka bi lagunek harri piloak bitan joango dira zatitzen. Hau da, lehenengo lagunak nahi duen piloa aukeratu eta bitan banatuko du (adibidez, 15 harrikoa, 4 eta 11ko multzoetan); ondoren, bigarrenak jokatuko du, lau multzoetatik bat aukeratu eta zatitu. Bukaeran, zati gehiago egin ezin duenak galduko du.

Zeinek irabaziko du? lehenengo jokalariak ala bigarrenak?






Dorreak xake-taulan

Txandaka, bi jokalarik dorreak ipiniko dituzte xake-taulan, baldintza honekin: dorre batek ezin izango du beste bat jan edo harrapatu. Bere txandan dorrerik ezin duena ipini galtzailea izango da.

Zein jokalarik irabaziko du?







*****
↧

Estrategiazko jokoak

October 22, 2015, 6:07 am
$
0
0

Jarraian datozen jokoetan ea aurkitzen dugun estrategia irabazlea.



ALFILAK

Bi jokalari daude, bat lehenengo jokalaria izango da (hasten dena) eta bestea bigarrena. Xake-taulan alfilak ipintzen joango dira txandaka, lehenengo jokalariak alfil bat ipiniko du, ondoren bigarrenak beste bat eta horrela jarraian. Bete beharreko baldintza: alfil batek ezin izango du beste bat jan edo harrapatu. Bere txandan alfila ezin duena ipini galtzailea izango da.



Zer nahiago zenuke, lehenengo ala bigarren jokalaria izatea? Nola jokatu behar duzu irabazteko? 





HARRI-PILOAK

Bi harri-pilo ditugu, batak 20 harri ditu eta besteak 30. Bi lagun hasiko dira txandaka harriak hartzen, jokaldi bakoitzean nahi beste harri eta nahi duten harri multzotik, baina harriak pilo bakar batetik hartuta. Azkeneko harria hartzen duena irabazi egingo du.

Ba al dago irabazteko estrategiarik? Lehenengo ala bigarren jokalariarentzat?


 PUNTUAK LOTUZ

Zirkunferentzia baten gainean 20 puntu kokatu ditugu. Bi lagunek bi puntu lotzen dituen segmentu bat marraztuko dute txandaka, baina aurretik marraztutako segmentuak ebaki barik. Jokalari batek bere txandan ezin badu zuzenkirik marraztu galdu egingo du.

Zein da eta zeinek dauka estrategia irabazlea?






*****

↧
↧

Hogeiak irabazten du

October 23, 2015, 8:03 am
$
0
0

Ea hurrengo jokoaren estrategia irabazlea aurkitzen duzun:

 
Kolore bereko 20 fitxa mahai gainean eta bi jokalari.
Txandaka jokalari bakoitzak 1 edo 2 fitxa hartuko ditu.
Azkeneko fitxa hartzen duena irabazlea izango da.




Zeinek du abantaila, lehenengo jokalariak ala bigarrenak?
Badago irabazteko estrategiarik? 
Eta fitxa kopurua aldatzen bada? 
Eta azkeneko fitxa hartzen duenak galtzen badu?


Jokoa orokortuz

Demagun "m" fitxa daudela mahai gainean eta har dezakegun fitxa kopurua 1tik "n"-ra (n < m) edozein kantitate.

Lehenengo ala bigarren jokalariak, zeinek dauka estrategia irabazlea? Zein estrategia?

Eta azkeneko fitxa hartzen duenak galtzen badu, zeinek izango du orain estrategia irabazlea?




*****
↧

Kuboak eta karratuak. Hitzik gabeko egiaztapena

October 23, 2015, 3:00 pm
$
0
0

Ondoko irudiak erakusten duen egiaztapenak ez du azalpenik behar:








*****
↧
Search

Hexagonotik hexagonora

October 24, 2015, 5:07 pm
$
0
0


"Hexagonotik hexagonora" bi pertsonendako jokoa da. Irudiko taula hexagonala, fitxa bat eta jolasteko gogoa besterik ez da behar,





Hasieran, sarrerako hexagonoan fitxa bat kokatzen da.Txandaka jokalariek fitxa hau eskumaruntz aurreratuko dute ondoko hexagono batera, horizontalean edo diagonalean. Hexagonoak margotu ditugu argiago ikusteko eta fletxak baimendutako mugimenduak adierazteko:





Irteerara lehenengo iristen dena irabazlea izango da.

Ba al dago irabazteko estrategiarik? Zeinek dauka abantaila, lehenengo ala bigarren jokalariak? Nola jokatu behar du beti irabazteko?

Antzematen al duzu antzekotasukik "Hogeiak irabazten du" jokoarekin?





Azalpena

Jokoarekin apur bat praktikatzen bada, berehala konturatuko gara lehenengo jokalariak abantaila duela eta zeintzu diren posizio irabazleak. Berdez margotutako hexagonoek garaipena ekarriko diote lehenengo jokalariari.
  • A jokalariak erdiko hexagono berdean.
  • B jokalariak grisez dagoen hexagono batean (erdikoa, goikoa edo behekoa).
  • A-k berdez dagoen goiko ala behekoan.
  • B-k erdiko horian, goiko grisean edo behekoan.
  • A-k erdian.
  • .............
  • Horrela, azkeneko mugimenduan, A-k irabazten du.




Begibistakoa ez bada ere, funtsean joko hau eta "Hogeiak irabazten du" baliokideak dira. Baliokidetasunaz jabetzeko, hexagonoak zenbakituko ditugu irudian ikusten den eran.
Zenbakien esanahia, hauxe da: 
  • Sarreran 20 fitxa.
  • A jokalariak 2 hartu eta soberan dauden 18aklerro bereko ondoko hexagonoan uzten ditu.
  • B-k 1 edo 2 fitxa har dezake. 2 hartzen baditu, beste 16ak lerro berean eta ondoko hexagonoan utziko ditu. 1 hartuz gero, beste 17ak goian ala behean.
  • A-k, B-ren mugimenduaren arabera, 2 eta 1 fitxa hartuko ditu, eta beste 15ak goiko edo beheko hexagonoan utziko ditu.
  • ................

Laburtuz, 3 lerro daude, lerro berean jarraitzen bada 2 fitxa hartu eta lerroz aldatzen bada fitxa 1.


Gehitu epigrafea





Klikatu HEMEN  (tableroak PDF-an).



*****





↧

Zenbakiak eta geometria

November 20, 2015, 5:15 pm
$
0
0

Kontatzeko erabiltzen ditugun zenbakiek nolabaiteko magia ezkutua izaten dute beren baitan,banan-banan aztertzen direnean antzematen ez dena. Gizakien modura, beraien artean erlazionatu behar izaten dira magiaren disdira  ikusgarria antzemateko.

Ezusteko deigarri ugari eskaintzen dizkigute elkarrekin aurkezten zaizkigunean. 

Ondoren datorrena, horren adibide:






Eta oraingoan, karratura berretuta dauden zenbakien arteko diferentzia 2 denean:


 
 Eta diferentzia 3 denean:



 Orokorrean, diferentzia "d" bada:




Eta bukatzeko, lehenengoarekin lotura estua duen beste hau:






Aljebraren logikak berehalako batean egiaztatzen dizkigu erlazio hauek. Baina, holako argumento logiko-aljebraikoarekin benetan ulertzen dugu zenbakizko erlazio hauek gordetzen duten magia? 

Planteamendu geometrikoek hobeto azaltzen dituzte egoera hauek, agerian uzten baitute zergatia, barneko mamia. 

Bi argumentuak, aljebraikoa eta geometrikoa, analogoak badira ere; bigarrenak, lehenengoa azaltzen du.


Bideo honetan zenbakiak eta geometria lotzen dira goian ikusitako lehenengo eta azkeneko erlazioak azaltzeko:







*****
↧
↧

Indukzio matematikoaren inguruan

January 25, 2016, 1:05 am
$
0
0


Proposizio partikularretatik abiatuta proposizio orokorrak lortzeko jarraitutako prozesuari indukzioa deritzogu. Prozesu hau sarri erabiltzen dugu gure egunerokotasunean, gertaera partikularretan oinarrituta lege orokorrak inferitzeko; askotan justifikazio gabeko ondorioak ezarriz. Arrazoibide induktiboa besterik gabe aplikatzeak baditu bere  arriskuak, gezurrezkoak diren ondorioetara eraman gaitzakeelako.

Adibide 1
  1. 70 bostaren multiploa da
  2.  0-z amaitzen diren zenbakiak 5aren multiploak dira.

(1) proposizio partikularretik egiazkoa den (2) proposizio orokorra ondorioztatu da.

Adibide 2
  1.  70 bostaren multiploa da
  2.   Bi zifrako zenbaki guztiak 5aren multiploak dira.
Kasu honetan, ordea, (1) proposizio partikularretik gezurrezkoa den (2) proposizio orokorra ondorioztatu da.

 
Nola jokatu beharko genuke indukzioa aplikatzerakoan gezurrezko ondorioak ekiditzeko?

Erantzuna Indukzio Finituaren edo Indukzio Matematikoaren Printzipioak ematen digu. Metodo honek honela dio:

Izan bedi N zenbaki arrunten multzoan definituriko propietatea edo proposizioa: P(n). Aipatutako propietatea n zenbaki arrunt guztietarako egiaztatzen da baldin ondorengo bi baldintzak betetzen badira:
  1. P(n) egia da n=1 denean.
  2. Edozein n=k izanik, P(k) egiazkoa izateak (hipotesia), P(k+1) ere egia izatea dakar (tesia).


Aurreko baldintza bakoitzak bere esanahi propioa du. Lehenengo baldintzak indukzioarako oinarria ezartzen duen bitartean, bigarrenak orokortzeko justifikazioa ematen digu.

Lehenengo baldintza egiaztatu ezean, ez dago indukzio metodoa aplikatzerik oinarria falta delako. Bestela, "n = n +1, edozein zenbaki arrunt bere hurrengoaren berdina da" moduko baieztapen absurdoa egiaztatu ahal izango genuke:

n = k kasurako k = k + 1 egia dela suposatuko dugu. Bi aldeetan 1 batuz, k + 1 = k + 2; hau da,  n = k + 1 kasuan ere egiaztatzen da. Beraz, hasierako baiztapena "egia" da ("Zenbaki arrunt guztiak berdinak dira").

Bestetik, lehenengo baldintza betetzen bada eta bigarrena ez; orduan, nahiz eta idukzioa aplikatzeko oinarrik egon, ez dago orokortzeko justifikaziorik. 

Leonard Eulerrek zenbaki lehenak sortzen zituen P(n) = n^2 +n +41 polinomioa aurkitu zuen. Orduan, pentsa daiteke adierazpen honek zenbaki lehenak sortuko dituela n arrunt guztietarako. Hala da n-ren lekuan 0, 1, 2, 3,... eta 39 ordezkatzerakoan, zenbaki lehenak sortzen ditu. Baina, n = 40 denean zenbaki konposatua (P(40) = 1.681 = 41·41) ematen du.

Hau da, kasu partikularrek indukziorako oinarria finkatzen dute, baina ez dute inolaz ere justifikatzen lege orokor bat ondorioztatzerik.

Teoremaren lehenengo baldintzan n-ri "1" balioa emanez hasi gara; baina, hau ez da derrigorra. Nahitaezko dena da emandako proposizioa lehenengo elementu (n0) baterako egia izatea, indukzio prozesuak hasiera izan dezan. Beraz, n0 izan daiteke 1, 5, 20, 100,..., baita 0 eta negatiboa ere.
Indukzioaren printzioioa aplikatu ahal izateko ondo ordenatua den multzo bat bat behar da; hau da, ordenatua eta elementu minimoa izan behar du. Adibidez, 3 baino handiagoak diren zenbaki arrunten multzoa, zenbaki bakoitien multzoa, bostaren multiploak, etabar.
 



Aznenik, zenbait kasutan Indukzio Metodoaren baliokidea den aldaera bat erabili ohi da, Indukzio Metodo Osoa edo Indukzio Matematiko Sendoa. Metodo honetan, indukzioaren oinarrian lehenengo kasua (n0) baino kasu gehiago egiaztatu beharko dugu eta pauso induktiboan edo hipotesis induktiboan P(n0), P(n0+1), P(n0+2),..., P(k-1) eta P(k) egia direla suposatu dugu.  

Honela enuntzia daiteke:

Izan bedi P(n) proposizioa, non n zenbaki osoa eta positiboa den. Gainera, bitez n0 eta n1 (n0=n1 edo n0txikiago n1 ) bi zenbaki, biak osoak eta positiboak. Orduan:

  1. Baldin, P(n0), P(n0+1), P(n0+2),..., P(n1-1) eta P(n1) egia badira.
  2. Eta edozein n=k handiago edo berdin n1izanik, P(n0), P(n0+1), P(n0+2),..., P(k-1) eta P(k) egiazkoak izateak, P(k+1) ere egia izatea baldin badakar.
Orduan, P(n) proposizioa egiaztatzen da n0 baino handiago edo berdinak diren n-ren balio guztientzat.

 Hona hemen adibide batzuk:



Bukatzeko, aurreko sarrera batean proposatutako "bi koloreen problema" eta beronen egiaztapena indukzioaren laguntzaz.


BI KOLOREEN PROBLEMA

 
 Marraztu orri batean nahi beste zuzen; argi dago,zuzen kopuru finitoa izango dugula. Adibidez,

Hainbat eskualdetan geratu da banatu orria. Mapa baten antzera eskualde bakoitza herrialde bat da. Bi kolore (gorria eta berdea) erabiliko ditugu mapa hau koloreztatzeko, baina baldintza bati jarraituz: muga zati bat (puntu bat ez da muga zatia) partekatzen duten herrialdeen kolorea desberdina izatea nahi da.

Gure adibidean, margotzeko era bat ondorengoa da:



Kasu honetan soluzio bat aurkitu dugu. Baina herrialde kopurua edozein izanda ere:


Posiblea al da margotzea jarritako baldintza errespetatuz? 

Nola?


Baiezko kasuan, bururatzen al zaizu estrategia edo prozedura bat, pausoz-pausoz jarraituta helburua lortzea ahalbideratuko duena?


Egiaztapena
 
  1. n=1 denean, hau da zuzen bakar bat marrazten bada, orria bi zatitan banatuta geratzen da; argi dagoenez, bi eremuak kolore desberdinez margotu daitezke.
  2. Demagun n=k zuzen marraztuta daudenean eremuak margotu ditzakegula eskatutako baldintzak errespetatuz (hipotesia).
  3. n=k+1 zuzenekin ea posiblea ote den nahi dugu egiaztatu (tesia).

Egiaztapena burutzeko ondorengo pausoak emango ditugu:

  • Hasiera batean k+1 zuzen marraztuko ditugu.
  • Ondoren, zuzen bat ezabatuko dugu (edozein).
  • Oraingoan, k zuzen daude eta hipotesiz koloreztatu dezakegu eskaturiko baldintzen arabera. Margotu eremuak.
  • Lehen ezabatutako zuzena berriz marraztu. Azken zuzen honek orri osoa bi zatitan banatzen du.
  • Zati batean dauden eremu itxi guztien kolorea aldatu (gorria berdez eta alderantziz)
  • Beste zatiko koloreak utzi aldatu barik.
  • Amaitu dugu, k+1 zuzenekin ere orria margotu dezakegu eskaturiko baldintzak errespetatuz. 
Emandako pausoak irudietan:

Indukzioz ebatzi eta egiaztatu ahal izan dugu bi koloreen problema.
***** 
  
↧

Hitzik gabeko egiaztapenak I

February 14, 2016, 7:38 am
↧

y'(x)=y(x)-b(x) Ekuazio Diferentzialaren Soluzioa

May 16, 2016, 2:18 pm
$
0
0

Kalkulurik egin gabe eta funtzio deribagarriak eta hauen aplikazioak (gorakortasun-beherakortasuna eta maximo-minimoak) gogoratuz arrazona daitekeen problema polit bat doakizue. Ingurumen Zientziak ikasten dihardun ikasle batek proposatu zidan, matematikako azterketa batean azaldu omen zitzaion.



PROBLEMA

Ondorengo grafikan b(x) eta beste hiru funtzioen grafikak, u(x), v(x) eta w(x), azaltzen dira. Hauen artean bat baino ez da y'(x)=y(x)-b(x) ekuazio diferentzialaren soluzioa. Arrazoitu zein den eta zergaitik.






AZALPENA

Hona azalpen posible bat:

Bedi f funtzioa jarraia [a,b] tarte itxian eta deribagarria (a,b) tarte irekian; orduan, zera egiaztatzen da:
  • Tarteko barneko puntuetan f' funtzio deribatuak balio positiboak hartzen baditu, f funtzioa (hertsiki) gorakorra da.
  • Tarteko barneko puntuetan f' funtzio deribatuak balio negatiboak hartzen baditu, f funtzioa (hertsiki) beherakorra da.
  • f funtzio deribagarriak x=c barneko puntuan mutur lokala badu (maximo edo minimo erlatiboa), f' funtzio deribatuaren balioa puntu horretan f'(c)=0 da.

Hauek kontuan izanik, u(x)-b(x); v(x)b(x); w(x)-b(x) kenketa-funtzioek [-1,5] tartean hartzen dituzten ikurrak ikertuko dira.

Funtzio bakoitzaren eta  b(x)-ren arteko diferentzien balioak "-", "+" edo "0" diren azterketa grafikoa (irudian) egin ondoren, y(x)=w(x)  ekuazio diferentzialaren soluzioa dela ondoriozta daiteke.




Bestetik, u(x) eta v(x) funtzioek ez dituzte aipatutako propietateak egiaztatzen:
  • u(x) funtzioa (0,3) tartean gorakorra da, u(x)-b(x) negatiboa izanik.
  • v(x) funtzioak ezkerrean beherakorra da, ordea, v(x)-b(x) positiboa.Era berean, (4,5)tartean gorakorra, v(x)-b(x) negatiboa izanik.







*****
↧
Viewing all 143 articles
Browse latest View live
Search