| PROBLEMA 3 (2018ko EPEa) |
ABC triangelu zorrotz baten altuerak H ortozentroan ebakitzen dira. Badakigu AB=CH dela. Zehaztu ∡BCA angeluaren balioa. |
Triangelu zorrotza denez, atuerak triangeluaren barnealdean ebakitzen dira H ortozentroan. Honela, triangelua binaka antzekoak diren 6 triangelu zuzenetan banatuta geratzen da.
Metodo 1
CHA' eta ABC' triangelu zuzenetan oinarrizko erlazio trigonometrikoak aplikatuz:
➤ABA' triangeluan BA'=c·sin𝝰
Hemendik, BHA' triangelu zuzen isoszelea da (eta baita bere antzekoa den AHB' ere). Beraz, triangelu hauen angelu zorrotzak 𝞬=45ºkoak dira.
CAA' triangelu zuzenean (edo CBB' triangeluan), angelu zorrotzen batura 90º da:
𝞪+𝞫+𝞬=90º
𝞪+𝞫+45º=90º
𝞪+𝞫=45º
∡C=45º
CAA' eta CBB' triangeluak ere zuzen isoszeleak dira.
Metodo 2
Beste era honetan ere ebatz dezakegu:
CHB' eta ABB' triangeluak kongruenteak dira , bi angelu eta bi angeluen arteko aldea berdinak direlako:
▷CH=AB=c hipotenusak luzera berekoak
▷𝞫 angelu zorrotza berdina
▷Triangelu zuzenak direnez, baita beste angelu zorrotza
ere berdina.
Ondorioz, BB'=B'C⇒CBB' triangelu zuzen isoszelea:
tan(𝞪+𝞫)=tan(⦛C)=BB'/B'C=1⇒⦛C=45º
*****